并不是所有的公立学校都满足申请H1B能够cap exempt的条件。为外籍雇员申请H1B是cap exempt的雇主包括:1)与高等教育机构或者相关联的非营利机构,或 2)与科研相关的非营利机构,或 3)与科研相关的政府研究组织。您说的公立学校比如是高中等的话,那么就还是有名额限制的。
办理工作签证可以由雇主那边的律师为您办理;如果您和雇主有协商,也可以您自己找到律师为您办理(申请表格等文件仍然需要雇主签字)。无论何种情况,您的H1B申请中petitioner还是您的雇主,您只是beneficiary。